Ecuaciones de segundo grado en 3.º de la ESO: 12 ejercicios resueltos paso a paso (sistemas incluidos)
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Hay un momento en 3.º de la ESO en que las Matemáticas cambian de nivel. Hasta ahí, una ecuación era despejar la x y listo. De repente aparece una x al cuadrado, una fórmula con una raíz y un ± en medio, y media clase se queda mirando la pizarra como si fuera otro idioma.
No lo es. Las ecuaciones de segundo grado 3 ESO se resuelven siempre con el mismo procedimiento, y cuando lo tienes automatizado son de los puntos más seguros del examen. En Modo Cheto hemos escrito el tema de ecuaciones y sistemas de 3.º sobre el currículo oficial, y aquí te dejo lo que de verdad necesitas: el método, los tipos y 12 ejercicios resueltos de principio a fin.
📋 Lo esencial
| El currículo de 1.º a 3.º de la ESO incluye resolver ecuaciones y sistemas lineales y ecuaciones cuadráticas (Real Decreto 217/2022, Anexo II, Matemáticas). |
| Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0, con a distinto de cero. |
| La fórmula general es x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, y el discriminante b² − 4ac te dice cuántas soluciones hay antes de calcularlas. |
| Las incompletas (sin b o sin c) se resuelven más rápido sin la fórmula: despejando o sacando factor común. |
| Los sistemas lineales de dos ecuaciones se resuelven por sustitución, igualación o reducción, y los tres dan el mismo resultado. |
| El error que más puntos quita no es la fórmula: es no ordenar la ecuación antes de aplicarla. |
❓ Qué son las ecuaciones de segundo grado y por qué se atascan en 3.º
Una ecuación de segundo grado es una igualdad en la que la incógnita aparece elevada al cuadrado, con la forma general ax² + bx + c = 0 y a distinto de cero. Se atascan en 3.º de la ESO porque mezclan tres cosas que hasta entonces iban separadas: operar con signos, trabajar con raíces y ordenar expresiones algebraicas antes de resolver.
La diferencia con las de primer grado es una sola, pero cambia todo. En una ecuación de primer grado, la x aparece sola y basta con despejarla. En una de segundo grado, la x aparece dos veces, una de ellas al cuadrado, y no hay forma de dejarla sola moviendo términos de un lado a otro. Por eso existe una fórmula.
Las tres letras que tienes que identificar
Antes de resolver nada, hay que localizar a, b y c. La a es el número que acompaña a x². La b es el que acompaña a x. La c es el número solo, sin x. En 2x² − 3x + 1 = 0, a vale 2, b vale −3 y c vale 1. Fíjate en que el signo va con el número: b no es 3, es −3. Ese detalle es la mitad de los errores de examen.
Por qué puede haber dos soluciones
Piensa en x² = 9. ¿Qué número al cuadrado da 9? El 3, claro. Pero también el −3, porque (−3)·(−3) = 9. Una ecuación de segundo grado puede tener dos soluciones, una sola (que se llama doble) o ninguna en los números reales. Y lo bonito es que puedes saber cuál de los tres casos tienes antes de hacer las cuentas.
Qué dice el currículo oficial
El Real Decreto 217/2022, que fija las enseñanzas mínimas de la ESO, incluye entre los saberes de Matemáticas de 1.º a 3.º las estrategias de búsqueda de soluciones en ecuaciones y sistemas lineales y en ecuaciones cuadráticas, aplicadas a situaciones de la vida cotidiana. Traducido: te van a pedir resolverlas y también plantearlas a partir de un problema con texto.
Mi opinión, sin matices: este es el tema de 3.º que más rentabilidad tiene. Es mecánico, se entrena rápido y aparece después en funciones, en geometría y en la Física de 4.º. Si lo dominas ahora, te ahorras sufrir dos cursos.
💡 La fórmula general y el discriminante, explicados sin humo
La fórmula general de las ecuaciones de segundo grado es x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. La parte de dentro de la raíz, b² − 4ac, se llama discriminante: si es positivo hay dos soluciones, si es cero hay una solución doble y si es negativo no hay solución real. Calcularlo primero te ahorra tiempo y errores.
No hace falta que entiendas de dónde sale la fórmula para usarla bien, aunque en 3.º algunos profesores lo explican completando cuadrados. Lo que sí necesitas es aplicarla siempre en el mismo orden, como una receta.
El orden que no falla
Primero, deja la ecuación igualada a cero y ordenada: primero el término en x², luego el de x y al final el número. Segundo, escribe a, b y c con sus signos. Tercero, calcula el discriminante aparte. Cuarto, sustituye en la fórmula. Quinto, separa el ± en dos cuentas: una con el más y otra con el menos.
Hacerlo en cinco pasos parece más lento, pero en realidad es más rápido, porque casi nunca tienes que repetir el ejercicio. Saltarte el paso del discriminante es la forma más habitual de acabar con una raíz de un número negativo en mitad del examen y no saber qué hacer.
Qué te dice el discriminante
Al discriminante se le suele llamar Δ (delta). Sus tres casos son estos:
- Δ mayor que 0: dos soluciones distintas. La raíz da un número y el ± lo convierte en dos resultados.
- Δ igual a 0: una solución doble. La raíz de cero es cero, así que el ± no cambia nada.
- Δ menor que 0: no hay solución real. No existe la raíz cuadrada de un número negativo en los reales, y en 3.º la respuesta correcta es exactamente esa: «no tiene solución».
El signo de b, la trampa de siempre
En la fórmula aparece −b. Si b ya es negativo, −b es positivo. Con b = −5, −b vale 5. Y en el discriminante, b² siempre es positivo: (−5)² = 25, no −25. Si escribes los paréntesis cada vez que sustituyes un número negativo, este error desaparece.
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🗺️ Los tipos de ecuaciones de segundo grado en 3 ESO y cómo atacar cada una
En 3.º de la ESO aparecen cuatro tipos de ecuaciones de segundo grado: las completas, las incompletas sin término en x, las incompletas sin término independiente y las que llegan desordenadas, con paréntesis o fracciones. Reconocer el tipo antes de empezar decide si usas la fórmula o un camino más corto.
Este es el paso que separa a quien resuelve de quien entiende. Usar la fórmula general en todas funciona, pero en las incompletas es como matar moscas a cañonazos: tardas más y tienes más sitios donde equivocarte.
Completas: ax² + bx + c = 0
Tienen las tres partes. Aquí va la fórmula general sin discusión. Es el tipo más frecuente en los exámenes y el que más se entrena.
Incompletas sin b: ax² + c = 0
No hay término en x. Se despeja x² y se hace la raíz, sin olvidar las dos soluciones: la positiva y la negativa. Si al despejar te queda x² igual a un número negativo, no hay solución real.
Incompletas sin c: ax² + bx = 0
No hay número solo. Se saca x factor común: x·(ax + b) = 0. Un producto vale cero cuando alguno de sus factores es cero, así que una solución es siempre x = 0 y la otra sale de resolver ax + b = 0. Es el tipo donde más gente se deja una solución por el camino: la del cero.
Desordenadas, con paréntesis o con fracciones
No son un tipo nuevo: son una completa o incompleta disfrazada. El trabajo es quitar el disfraz. Si hay paréntesis, multiplicas. Si hay fracciones, multiplicas toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Si hay términos a los dos lados, los pasas todos a uno. Cuando la tienes en forma ax² + bx + c = 0, ya sabes qué hacer.
En nuestra experiencia corrigiendo tests, este último grupo es donde más se suspende. No porque sea difícil, sino porque la gente quiere llegar a la fórmula tan rápido que se salta el paso de ordenar.
🛠️ Ecuaciones de segundo grado 3 ESO: 9 ejercicios resueltos
Estos nueve ejercicios de ecuaciones de segundo grado 3 ESO cubren todos los casos que entran en el curso: completas con dos soluciones, con solución doble y sin solución, incompletas de los dos tipos, con paréntesis, con fracciones y dos problemas con enunciado. Intenta cada uno antes de leer la solución.
Coge papel. Leer la solución sin haberlo intentado no entrena nada: te da la sensación de que lo sabes, que no es lo mismo que saberlo.
Ejercicio 1: x² − 5x + 6 = 0
a = 1, b = −5, c = 6. Discriminante: (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1. Es positivo: dos soluciones. x = (5 ± 1) / 2. Con el más, x = 6/2 = 3. Con el menos, x = 4/2 = 2. Comprueba: 3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0. Cuadra.
Ejercicio 2: 2x² + 3x − 2 = 0
a = 2, b = 3, c = −2. Discriminante: 3² − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25. Raíz de 25 = 5. x = (−3 ± 5) / 4. Soluciones: x = 2/4 = 1/2 y x = −8/4 = −2. Fíjate en que el denominador es 2a = 4, no 2: otro error clásico.
Ejercicio 3: x² − 6x + 9 = 0
a = 1, b = −6, c = 9. Discriminante: 36 − 36 = 0. Solución doble: x = 6/2 = 3. Si te suena, es porque x² − 6x + 9 es el cuadrado de (x − 3). Reconocer estos cuadrados perfectos es un atajo muy útil.
Si te viene bien, aquí tienes el arcade para repasar jugando.
Ejercicio 4: x² + x + 1 = 0
a = 1, b = 1, c = 1. Discriminante: 1 − 4 = −3. Es negativo: la ecuación no tiene solución real. Esa es la respuesta completa. No te inventes nada más.
Ejercicio 5: 3x² − 27 = 0
Incompleta sin b. 3x² = 27, x² = 9, x = ±3. Soluciones: 3 y −3. No necesitas la fórmula.
Ejercicio 6: 4x² − 12x = 0
Incompleta sin c. Factor común: 4x·(x − 3) = 0. O 4x = 0, que da x = 0, o x − 3 = 0, que da x = 3. Si dividieras toda la ecuación entre x para «simplificar», perderías el cero. Nunca dividas por la incógnita.
Ejercicio 7: (x − 1)(x + 4) = 6
Primero, quitar paréntesis: x² + 4x − x − 4 = 6, o sea x² + 3x − 4 = 6. Ordenar: x² + 3x − 10 = 0. Discriminante: 9 + 40 = 49, raíz 7. x = (−3 ± 7) / 2. Soluciones: 2 y −5. Ojo: no vale igualar cada paréntesis a 6. El truco del producto igual a cero solo funciona cuando el otro lado es cero.
Ejercicio 8: x²/2 − x/3 = 1/6
El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 6 es 6. Multiplicamos todo por 6: 3x² − 2x = 1. Ordenamos: 3x² − 2x − 1 = 0. Discriminante: 4 + 12 = 16, raíz 4. x = (2 ± 4) / 6. Soluciones: 1 y −1/3.
Ejercicio 9: un rectángulo de 60 m²
Enunciado: el largo de un rectángulo mide 4 metros más que el ancho y su área es 60 m². ¿Cuánto mide cada lado? Llamamos x al ancho; el largo es x + 4. Área: x·(x + 4) = 60, o sea x² + 4x − 60 = 0. Discriminante: 16 + 240 = 256, raíz 16. x = (−4 ± 16) / 2, que da 6 o −10. Una longitud no puede ser negativa, así que el ancho mide 6 m y el largo 10 m. Comprueba: 6·10 = 60.
Ese último paso, descartar la solución que no tiene sentido, es lo que más puntúan en los problemas. La ecuación tiene dos soluciones; el problema, solo una.
🧩 Sistemas de ecuaciones de 3.º: 3 ejercicios resueltos por los tres métodos
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se resuelve en 3.º de la ESO por sustitución, igualación o reducción. Los tres métodos llegan a la misma solución; la diferencia es cuál es más rápido según cómo venga el sistema. Siempre hay que comprobar el resultado en las dos ecuaciones.
Atajo que funciona: Dojo de Matemáticas: juego de Matemáticas II.
Los sistemas van en el mismo tema que las ecuaciones de segundo grado, y en el examen suelen aparecer juntos. La buena noticia: son más fáciles. Solo tienen trabajo de orden.
Cuándo usar cada método
- Sustitución: cuando una incógnita ya está despejada o tiene coeficiente 1. Despejas, sustituyes en la otra ecuación y resuelves.
- Igualación: cuando es fácil despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. Despejas en ambas e igualas.
- Reducción: cuando una incógnita tiene el mismo coeficiente, o el opuesto, en las dos ecuaciones. Sumas o restas y una desaparece.
Ejercicio 10 (sustitución): x + y = 10; 2x − y = 5
De la primera, y = 10 − x. Sustituimos en la segunda: 2x − (10 − x) = 5, o sea 2x − 10 + x = 5, 3x = 15, x = 5. Entonces y = 10 − 5 = 5. Comprobación: 5 + 5 = 10 y 2·5 − 5 = 5. Correcto.
Ejercicio 11 (reducción): 3x + 2y = 16; 5x − 2y = 0
La y tiene coeficientes opuestos: +2 y −2. Sumamos las dos ecuaciones: 8x = 16, x = 2. Sustituimos en la primera: 3·2 + 2y = 16, 2y = 10, y = 5. Comprobación en la segunda: 5·2 − 2·5 = 0. Correcto.
Ejercicio 12 (igualación, con enunciado): entradas de cine
Dos entradas de adulto y tres de niño cuestan 34 €. Una de adulto y dos de niño cuestan 19 €. ¿Cuánto vale cada una? Llamamos a al precio de adulto y n al de niño: 2a + 3n = 34 y a + 2n = 19. Despejamos a en las dos: a = (34 − 3n)/2 y a = 19 − 2n. Igualamos: (34 − 3n)/2 = 19 − 2n. Multiplicamos por 2: 34 − 3n = 38 − 4n, así que n = 4 €. Y a = 19 − 8 = 11 €. Comprobación: 2·11 + 3·4 = 34. Correcto.
Comprueba siempre: es gratis
Comprobar la solución en las dos ecuaciones lleva treinta segundos y te dice con certeza si está bien. En un sistema no hay excusa para entregar un resultado erróneo: si no cuadra, sabes que hay un fallo y puedes buscarlo antes de entregar.
⚠️ Los errores que más puntos quitan en ecuaciones y sistemas de 3.º
Los errores que más puntos quitan en las ecuaciones de segundo grado 3 ESO son no igualar a cero antes de leer a, b y c, equivocarse con el signo de b, dividir entre 2 en vez de entre 2a, perder la solución x = 0 en las incompletas y no descartar las soluciones absurdas en los problemas.
Lo interesante es que ninguno de estos errores es de no saber la teoría. Son errores de procedimiento, y por eso se arreglan con un método fijo y no con estudiar más horas.
Error 1: aplicar la fórmula sin ordenar
Ya lo hemos visto, pero es el número uno. Si hay algo a la derecha del igual que no sea cero, la ecuación no está lista. Pásalo todo a la izquierda antes de identificar los coeficientes.
Si te viene bien, aquí tienes el temario de 4.º de la ESO, el curso siguiente.
Error 2: los signos dentro de la fórmula
Con b negativo, −b es positivo y b² es positivo. Con c negativo, −4ac se convierte en una suma. Escribir los paréntesis al sustituir, aunque te parezca una pérdida de tiempo, elimina este error casi por completo.
Error 3: dividir entre 2 y no entre 2a
Cuando a vale 1, da igual. Cuando a vale 2, 3 o −1, te cambia el resultado. Como muchos ejercicios de clase tienen a = 1, el cerebro se acostumbra a dividir entre 2 y el día del examen aparece una ecuación con a = 3.
Error 4: perder soluciones o inventar soluciones
En las incompletas sin c, la solución x = 0 se pierde si divides por x. En las de Δ negativo, hay quien se inventa un resultado para no dejar el ejercicio en blanco. Y en los problemas, hay quien entrega una longitud negativa. Las tres cosas restan, y las tres se evitan con una pregunta final: ¿esto tiene sentido?
Lo diré sin rodeos: en este tema, la diferencia entre un 5 y un 9 no es el talento, es la limpieza. Quien escribe cada paso, aprueba con nota. Quien hace cuentas de cabeza para ir rápido, pierde puntos tontos. Ahí lo dejo.
🎮 Cómo entrenar las ecuaciones hasta que te salgan solas
Las ecuaciones de segundo grado 3 ESO se entrenan con sesiones cortas y frecuentes: tres o cuatro ejercicios al día durante dos semanas, mezclando tipos y corrigiendo cada fallo, bastan para que el procedimiento se vuelva automático. Mezclar tipos en la misma sesión es más eficaz que hacer veinte iguales seguidos.
Este tema es como aprender un combo en un videojuego. Al principio piensas cada botón. A los pocos días, la secuencia sale sola y puedes pensar en lo importante: qué ecuación tienes delante y cuál es el camino más corto.
Mezcla los tipos
Hacer diez completas seguidas te da sensación de dominio, pero en el examen no vienen ordenadas. Si en cada sesión mezclas una completa, una incompleta, una con paréntesis y un problema, entrenas lo más difícil: reconocer el tipo. Hay bastante investigación sobre esto en psicología del aprendizaje, y se llama práctica intercalada.
Inventa ecuaciones al revés
Un truco que funciona muy bien: elige dos soluciones, por ejemplo 2 y −3, y construye la ecuación. (x − 2)(x + 3) = 0 da x² + x − 6 = 0. Luego resuélvela y comprueba que te salen 2 y −3. Así entiendes la relación entre las soluciones y los coeficientes, y además te fabricas ejercicios con solución conocida.
Lleva un cuaderno de errores
Cada vez que falles, copia el ejercicio, escribe en una línea qué falló («signo de b», «olvidé el 0») y rehazlo. Antes del examen, repasa solo ese cuaderno. Es la forma más rápida de subir nota porque atacas tus fallos reales, no los de un libro.
Usa los tests para medirte
En Modo Cheto, el tema de ecuaciones y sistemas de 3.º tiene vídeo, resumen en PDF, flashcards y 50 preguntas de test con la corrección explicada. Si fallas una, la explicación te dice exactamente en qué paso te has equivocado. Y si quieres ver cómo trabajamos antes de registrarte, el primer tema de 3.º está en abierto.
¿Te atreves a resolver los 12 ejercicios sin mirar las soluciones y apuntar cuántos te salen a la primera?
Fuentes: Real Decreto 217/2022, de enseñanzas mínimas de la ESO (BOE), Anexo II, Matemáticas, saberes de 1.º a 3.º · GeoGebra, calculadora gráfica para comprobar soluciones.
Entrena ecuaciones en sesiones de veinte minutos
El planificador de Modo Cheto reparte los temas en sesiones cortas con un test al final, para que llegues al examen con todo entrenado.
❓ Preguntas frecuentes
¿Cómo se resuelven las ecuaciones de segundo grado de 3 ESO?
Se igualan a cero, se identifican los coeficientes a, b y c, se calcula el discriminante b² − 4ac y se aplica la fórmula x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Las incompletas se resuelven más rápido despejando x² o sacando factor común.
¿Qué es el discriminante de una ecuación de segundo grado?
Es la expresión b² − 4ac, la parte de dentro de la raíz en la fórmula general. Si es positivo, la ecuación tiene dos soluciones; si es cero, una solución doble; si es negativo, no tiene solución real.
¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación de segundo grado?
Dos, una (llamada solución doble) o ninguna en los números reales. El discriminante te dice cuál de los tres casos tienes antes de hacer las cuentas.
¿Qué método es mejor para resolver un sistema de ecuaciones en 3.º?
Depende del sistema. Sustitución si una incógnita tiene coeficiente 1, reducción si una incógnita tiene coeficientes iguales u opuestos e igualación si es fácil despejar la misma incógnita en las dos. Los tres dan la misma solución.
¿Entran las ecuaciones de segundo grado en 3.º de la ESO?
Sí. El Real Decreto 217/2022 incluye entre los saberes de Matemáticas de 1.º a 3.º la resolución de ecuaciones y sistemas lineales y de ecuaciones cuadráticas, que son las de segundo grado, aplicadas a situaciones de la vida cotidiana.