Matemáticas selectividad: último repaso de cálculo integral y matrices antes del examen

Son las 23:47 de la noche. Tienes el examen de Matemáticas mañana. Has mirado el temario de cálculo integral y matrices durante tres segundos y lo has cerrado porque el pánico es real. Tranquilo. Este no es el típico resumen de todo el año. Este es el repaso de última hora que sí funciona.

❌ Por qué fallas en cálculo integral y matrices (y no es por falta de estudio)

Una buena parte de los puntos que se pierden en estos bloques se van en errores mecánicos, no en desconocer la teoría. Sabes calcular la integral de 1/x, pero olvidas poner el valor absoluto. Sabes multiplicar matrices, pero te equivocas al ordenar filas y columnas. La diferencia entre un 7 y un 9 está en 3-4 despistes evitables.

Lo he visto cientos de veces. Gente que se sabe todos los métodos de integración, que ha hecho mil ejercicios de cálculo integral matrices, que llega al examen confiada. Y se deja 2 puntos porque ha calculado mal un determinante de orden 3 o porque ha olvidado sumar la constante C al final de una primitiva.

El problema no es tu nivel. El problema es que estudias conceptos cuando deberías estar automatizando procedimientos. En Matemáticas de Selectividad, especialmente en estos dos bloques, no te preguntan «¿qué es una integral definida?». Te piden que la resuelvas en 4 minutos sin equivocarte.

Las integrales y las matrices están en el currículo oficial de Matemáticas II de 2.º de Bachillerato (Real Decreto 243/2022), y la PAU se examina con ese currículo (Real Decreto 534/2024). No hay estadística oficial de notas por bloque, pero son bloques donde un error de signo o una operación mal hecha destroza todo el ejercicio. Mira los exámenes reales de tu comunidad, por ejemplo los de la Comunidad de Madrid, para ver cómo se preguntan.

La buena noticia: casi todos esos errores se pueden prevenir si sabes dónde ocurren y los practicas específicamente.

📐 Los 5 tipos de cálculo integral que más se repiten en el examen

Hay 5 tipologías de cálculo integral que se repiten en Selectividad curso tras curso. No hay un recuento oficial, pero si dominas estas 5 tienes cubierto lo más habitual.

1. Integrales racionales con descomposición en fracciones simples

El clásico. Te dan algo como ∫ (3x + 5) / (x² – x – 2) dx y tienes que factorizar el denominador, descomponer en fracciones simples A/(x-2) + B/(x+1), resolver el sistema para A y B, e integrar.

Error típico: Olvidar el valor absoluto en los logaritmos. Si integras 1/(x-2), el resultado es ln|x-2|, no ln(x-2). Ese detalle te puede costar 0.5 puntos.

2. Integrales por partes (∫ u dv = uv – ∫ v du)

La fórmula la sabes de memoria. El problema es elegir bien qué parte es u y qué parte es dv. Regla mnemotécnica: ALPES (Algebraicas, Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno/coseno). Lo que aparezca primero en esa lista es tu u.

Ejemplo: ∫ x·e^x dx → u = x (polinómica), dv = e^x dx (exponencial).

Error típico: Integrar dos veces por partes cuando solo hace falta una. Si tras la primera aplicación te queda una integral inmediata, ya está. No sigas.

3. Integrales trigonométricas con cambio de variable

∫ sen³(x)·cos(x) dx → Cambio t = sen(x), dt = cos(x) dx. Se convierte en ∫ t³ dt, trivial.

El truco es detectar cuándo hacer el cambio. Si ves sen^n(x)·cos(x) o cos^n(x)·sen(x), el cambio es inmediato. Si ves sen²(x)·cos²(x), usa sen²(x) = (1 – cos(2x))/2 para simplificar primero.

4. Integrales definidas con interpretación geométrica

Te piden calcular el área entre una curva y el eje X entre dos puntos. Cuidado: si la función toma valores negativos en el intervalo, la integral definida te da un número negativo. El área es siempre positiva, así que tienes que partir el intervalo donde la función cruza el eje X y sumar los valores absolutos.

Error típico: Aplicar Barrow directamente sin comprobar si f(x) cambia de signo en [a, b]. Si cambia, tienes que integrar por tramos.

5. Cálculo de primitivas inmediatas con constante multiplicativa

∫ (3x² + 5) / (x³ + 5x) dx → Detectar que el numerador es (casi) la derivada del denominador. Si f'(x)/f(x) aparece, la primitiva es ln|f(x)| + C.

Si f'(x)·[f(x)]^n aparece, la primitiva es [f(x)]^(n+1) / (n+1) + C.

Este tipo cae siempre. Y siempre hay gente que no lo ve y se pone a hacer cambios de variable innecesarios.

Si te viene bien, aquí tienes la suite de herramientas para estudiar con IA.

🔢 Operaciones matriciales críticas: lo que SÍ cae en el examen

En el bloque de matrices, casi todo se apoya en 3 operaciones: determinantes de orden 3, rango por Gauss y matriz inversa por adjuntos. Muchos puntos se pierden por errores de cálculo en los determinantes, no por no saber el método.

Determinantes de orden 3: Sarrus y desarrollo por adjuntos

Regla de Sarrus funciona solo para orden 3. Multiplicas las 3 diagonales principales (de izquierda a derecha bajando) y restas las 3 diagonales secundarias (de derecha a izquierda bajando). Copia las dos primeras columnas a la derecha para visualizarlo mejor.

Error mortal: Confundir los signos. Las diagonales secundarias van RESTANDO. Si te equivocas en un signo, el determinante sale mal y todo lo que venga después (rango, inversa, discusión de sistemas) también.

Rango de una matriz por el método de Gauss

Transformar la matriz a forma escalonada con operaciones elementales. El rango es el número de filas no nulas que quedan.

Operaciones permitidas: intercambiar filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo, sumar a una fila otra multiplicada por un escalar. NUNCA operes con columnas si estás calculando rango para discutir sistemas.

Error típico: Olvidar que si multiplicas una fila por k, tienes que dividir el determinante final por k para obtener el determinante original. Pero si solo calculas rango, eso no importa porque el rango no cambia.

Matriz inversa por el método de adjuntos

A^(-1) = (1/det(A)) · Adj(A)^t

Pasos:

Si te viene bien, aquí tienes el arcade con 24 minijuegos de repaso.

1. Calcular det(A). Si det(A) = 0, la matriz no tiene inversa. Fin.
2. Calcular la matriz de adjuntos: para cada elemento a_ij, calcular el menor complementario (determinante de orden 2 que queda al eliminar fila i y columna j), cambiar el signo según el patrón de tablero de ajedrez (+, -, +, -, …).
3. Trasponer la matriz de adjuntos.
4. Multiplicar por 1/det(A).

Error típico: Olvidar trasponer. La matriz adjunta NO es la matriz de cofactores. Es la traspuesta de la matriz de cofactores.

Atajo que funciona: Dojo de Matemáticas: juego de Matemáticas II.

Discusión de sistemas con matrices (Rouché-Frobenius)

Este es el boss final. Te dan un sistema con parámetros y tienes que discutir según los valores del parámetro cuándo es compatible determinado, compatible indeterminado, o incompatible.

Método: comparar rango de la matriz de coeficientes (A) con rango de la matriz ampliada (A|B).

• Si rg(A) = rg(A|B) = número de incógnitas → Compatible determinado (solución única)
• Si rg(A) = rg(A|B) < número de incógnitas → Compatible indeterminado (infinitas soluciones)
• Si rg(A) ≠ rg(A|B) → Incompatible (sin solución)

Para calcularlo, sueles tener que calcular determinantes con el parámetro, igualarlos a cero para encontrar los valores críticos, y estudiar caso por caso.

Error típico: No estudiar TODOS los casos. Si el parámetro es λ y encuentras que para λ = 2 y λ = -3 pasan cosas, tienes que estudiar 3 casos: λ = 2, λ = -3, y λ ≠ 2 y λ ≠ -3. Falta uno y pierdes puntos.

⏱️ Plan de repaso de 90 minutos para cálculo integral y matrices

Este plan funciona si lo haces con papel y boli, no leyendo. Cronómetro activado. Sin móvil. 90 minutos de trabajo real.

Fase 1: Integral (40 minutos)

1. Minutos 0-10: Repasa la tabla de primitivas inmediatas. Escríbelas de memoria. ∫ x^n dx, ∫ 1/x dx, ∫ e^x dx, ∫ a^x dx, ∫ sen(x) dx, ∫ cos(x) dx, ∫ 1/(1+x²) dx, ∫ 1/√(1-x²) dx. Si te falla alguna, marca ese tipo para practicarlo después.
2. Minutos 10-20: Haz 2 integrales racionales con descomposición. Cronómetro. Objetivo: 5 minutos por integral. Si te pasas, necesitas más práctica en este tipo.
3. Minutos 20-30: Haz 1 integral por partes y 1 trigonométrica con cambio. 5 minutos cada una.
4. Minutos 30-40: Haz 1 integral definida con cálculo de área. Comprueba si la función cruza el eje X en el intervalo. Si lo hace, parte la integral.

Si has fallado más de 1 ejercicio, repite la fase 1 antes de pasar a matrices. La técnica Pomodoro adaptada con IA te ayuda a mantener el foco en sesiones cortas como esta.

Fase 2: Matrices (40 minutos)

1. Minutos 0-10: Calcula 3 determinantes de orden 3 por Sarrus. Sin calculadora. Comprueba los resultados.
2. Minutos 10-20: Calcula el rango de 2 matrices (una de orden 3×3 y otra de 3×4) por Gauss. Escribe las operaciones elementales que haces en cada paso.
3. Minutos 20-35: Calcula la inversa de una matriz 3×3 por adjuntos. Verifica multiplicando A · A^(-1) = I. Si no te da la identidad, revisa.
4. Minutos 35-40: Repasa el esquema de Rouché-Frobenius. Escribe las 3 condiciones (compatible determinado, indeterminado, incompatible) sin mirar los apuntes.

Fase 3: Simulacro mixto (10 minutos)

Elige 1 ejercicio de cálculo integral matrices de exámenes reales de Selectividad. Hazlos cronometrados. Objetivo: 5 minutos por ejercicio. Este es el ritmo real del examen.

Si te quedas atascado, márcalo y pasa al siguiente. En el examen real no puedes permitirte perder 10 minutos en un ejercicio.

Si te viene bien, aquí tienes el planificador de la guía docente.

💥 Los 7 errores que te cuestan puntos en cálculo integral y matrices

Estos 7 fallos se repiten una y otra vez. Si los evitas, no regalas puntos. Y la mejor forma de evitarlos es practicar con ejercicios y corregirte, no releer apuntes (Dunlosky y colaboradores, 2013).

1. Olvidar la constante de integración (C) en primitivas indefinidas

En una integral indefinida, el resultado SIEMPRE lleva + C. Si pone ∫ f(x) dx, tu respuesta es F(x) + C. Si olvidas la C, te descuentan. En una integral definida (con límites), NO lleva C porque Barrow elimina la constante.

2. Valor absoluto en logaritmos neperianos

∫ 1/x dx = ln|x| + C, no ln(x) + C. El valor absoluto es obligatorio porque x puede ser negativo. Si no lo pones, matemáticamente tu respuesta está mal.

3. No partir integrales definidas cuando f(x) cruza el eje X

Si calculas ∫[-1, 2] (x² – 1) dx directamente, te da un número. Pero si te piden el área, tienes que partir en ∫[-1, 1] |x² – 1| dx + ∫[1, 2] |x² – 1| dx porque la función es negativa en (-1, 1) y positiva en (1, 2).

4. Confundir filas y columnas al multiplicar matrices

A (2×3) · B (3×4) = C (2×4). El elemento c_ij es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B. Si lo haces al revés, todo sale mal.

5. Olvidar trasponer en la matriz inversa por adjuntos

A^(-1) = (1/det(A)) · Adj(A)^t. La t es CRÍTICA. La matriz de cofactores no es lo mismo que la adjunta. Tienes que trasponer.

6. Errores de signo en determinantes por Sarrus

Las diagonales que bajan de derecha a izquierda van RESTANDO. He visto este error mil veces. Márcalo en rojo en tu cabeza antes de empezar a calcular.

7. No comprobar det(A) ≠ 0 antes de calcular la inversa

Si det(A) = 0, la matriz NO tiene inversa. No pierdas tiempo calculando adjuntos. Primero, determinante. Si es cero, fin del ejercicio.

El examen de Matemáticas no mide lo que sabes. Mide lo que sabes hacer bajo presión en tiempo limitado. La diferencia entre aprobar y sacar nota está en automatizar los procedimientos para no tener que pensar cada paso.

Estos dos bloques —cálculo integral y matrices— son los que más puntos regalan si sabes dónde mirar. No son los más difíciles conceptualmente. Son los más traicioneros porque castigan los despistes.

Ahora, una pregunta: ¿vas a seguir repasando teoría que ya sabes, o vas a hacer los ejercicios cronometrados que de verdad marcan la diferencia?